| Л.Г. Куракин. Об устойчивости томсоновских вихревых конфигураций внутри круговой области . Нелинейная динамика, 2009, т.5, №3, с. 295-317 | ||||||
- Куракин Леонид
Геннадиевич
Аннотация
Работа посвящена проблеме устойчивости стационарного вращения системы n одинаковых точечных вихрей, расположенных в вершинах правильного n-угольника радиуса R0 внутри круговой области радиуса R. Т. Х. Хавелок установил (1931 г.), что соответствующая линеаризованная система имеет экспоненциально растущие решения, когда n ≥ 7 или если параметр p=R02/R2 больше некоторой критической величины p*n (p*n < p < 1) при 2 ≤ n ≤ 6. В данной работе задача устойчивости исследована в точной нелинейной постановке во всех остальных случаях: 0 < p ≤ p*n, n=2,…,6. Указаны необходимые и достаточные условия устойчивости и неустойчивости при n≠5. Приведено подробное доказательство для вихревого треугольника. Часть условий устойчивости обоснована тем, что относительный гамильтониан системы достигает минимума на траектории стационарного движения вихревого треугольника. Особого подхода потребовал случай его знакопеременности. Для анализа применены результаты КАМ-теории. Перечислены и исследованы все встречающиеся здесь резонансы до четвертого порядка включительно. Оказалось, что один из них приводит к неустойчивости.
Ключевые слова: точечный вихрь, стационарное движение, устойчивость, резонанс .
L.G. Kurakin. The stability of Thomson's configurations of vortices in a circular domain . Rus. J. Nonlin. Dyn., 2009, V.5, №3, p. 295-317
Abstract
The paper is devoted to stability of the stationary rotation of a system of n equal point vortices located at vertices of a regular n-gon of radius R0 inside a circular domain of radius R. T. H. Havelock stated (1931) that the corresponding linearized system has an exponentially growing solution for n ≥ 7, and in the case 2 ≤ n ≤ 6 - only if parameter p=R02/R2 is greater than a certain critical value: p*n < p < 1. In the present paper the problem on stability is studied in exact nonlinear formulation for all other cases 0 < p ≤ p*n, n=2,…,6. We formulate the necessary and sufficient conditions for n≠5. We give full proff only for the case of three vortices. A part of stability conditions is substantiated by the fact that the relative Hamiltonian of the system attains a minimum on the trajectory of a stationary motion of the vortex n-gon. The case when its sign is alternating, arising for n=3, did require a special study. This has been analyzed by the KAM theory methods. Besides, here are listed and investigated all resonances encountered up to forth order. In turned out that one of them lead to instability.
Keywords: point vortices, stationary motion, stability, resonance .
|
