| С.П. Кузнецов. Пример неавтономной системы с непрерывным временем, имеющей аттрактор типа Плыкина в отображении Пуанкаре. Нелинейная динамика, 2009, т.5, №3, с. 403-424 | ||||||
Аннотация
Предложена неавтономная потоковая система с гиперболическим аттрактором, которая может послужить основой для последующей разработки реальных систем и устройств, демонстрирующих структурно устойчивую хаотическую динамику. Отправной точкой является отображение сферы в себя, построенное в виде четырех последовательно выполняемых геометрически наглядных непрерывных преобразований. Проведено численное исследование этого отображения и показано, что в определенной области параметров оно имеет аттрактор типа Плыкина. С учетом присущего этому аттрактору свойства структурной устойчивости предпринята модификация модели. Проведена также замена переменных с переходом к представлению мгновенных состояний точками на плоскости. В результате получена в явном виде система двух неавтономных дифференциальных уравнений первого порядка с гладкой зависимостью коэффициентов от динамических переменных и времени, которая в сечении Пуанкаре имеет аттрактор типа Плыкина на плоскости. Представлены результаты численного исследования отображения сферы и потоковой системы, в том числе портреты аттракторов, показатели Ляпунова, оценки размерности. Обоснование гиперболической природы аттрактора для отображения сферы и системы с непрерывным временем опирается на компьютерную процедуру проверки так называемого критерия конусов, с привлечением ряда методических приемов, которые могут быть полезны при проверке гиперболичности аттракторов также и в других системах.
Ключевые слова: гиперболический хаос, аттрактор Плыкина, показатель Ляпунова, структурная устойчивость.
S.P. Kuznetsov. An example of a non-autonomous continuous-time system with attractor of Plykin type in the Poincare map. Rus. J. Nonlin. Dyn., 2009, V.5, №3, p. 403-424
Abstract
A non-autonomous flow system is introduced, which may serve as a base for elaboration of real systems and devices demonstrating the structurally stable chaotic dynamics. The starting point is the map of the sphere composed of four stages of sequential continuous geometrically evident transformations. The computations indicate that in a certain parameter range the map posseses an attractor of Plykin type. Accounting the structural stability intrinsic to this attractor, a modification of the model is undertaken, which includes a variable change with passage to representation of instantaneous states on the plane. As a result, a set of two non-autonomous differential equations of the first order with smooth coefficients is obtained explicitly, which has the Plykin type attractor in the plane in the Poincaré cross-section. Results of computations are presented for the sphere map and for the flow system including portraits of attractors, Lyapunov exponents, dimension estimates. Substantiation of the hyperbolic nature of the attractors for the sphere map and for the flow system is based on a computer procedure of verification of the so-called cone criterion; in this context, some hints are applied, which may be useful in similar computations for some other systems.
Keywords: hyperbolic chaos, Plykin attractor, Lyapunov exponent, structural stability.
|
