Аннотация

В работе исследованы две задачи из неголономной механики, связанные с качением шаров. Одна из них — классическая задача С.А. Чаплыгина о качении без проскальзывания уравновешенного динамически несимметричного шара по горизонтальной плоскости. Другая — предложенная Ю.Н.Фёдоровым новая задача о движении твердого тела в шаровом подвесе. Для первой задачи мы подробно рассматриваем нетривиальное преобразование, примененное Чаплыгиным к интегрированию системы при ненулевой константе площадей и проясняем его геометрический смысл (у Чаплыгина это преобразование представлено довольно сложными, неочевидными аналитическими выкладками). Оказывается, что при понимании его геометрии преобразование Чаплыгина может быть обобщено на задачу о движении тела в шаровом подвесе, для которой с момента ее постановки в 1988 г. не было предложено никаких успешных подходов к методике явного интегрирования. В нашей работе показано, что с помощью обобщения преобразования Чаплыгина эта новая задача сводится к классической системе Чаплыгина. Выполненное нами обобщение позволяет не только явно проинтегрировать уравнения движения шарового подвеса в квадратурах, но и исследовать особо замечательные критические траектории и их устойчивость, выполнить качественный анализ движения задачи. Вполне возможно, что указанные решения могут иметь приложения в различных технических устройствах и при конструировании робототехнических мобильных средств. Кроме того, мы рассматриваем случай, когда к системе с шаровым подвесом добавлен постоянный гиростатический момент. Показано, что добавление гиростата не приводит к потере интегрируемости задачи.

Ключевые слова: неголономная механика, шаровой подвес, шар Чаплыгина, явное интегрирование, изоморфизм, бифуркационный анализ .

Полнотекстовая версия