| А.П. Маркеев. О нелинейном уравнении Мейсснера . Нелинейная динамика, 2011, т.7, №3, с. 531-547 | ||||||
- Маркеев Анатолий
Павлович
Аннотация
Изучается нелинейное уравнение движения системы типа «маятник». От классического уравнения математического маятника оно отличается наличием параметрического возмущения: соответствующая рассматриваемому уравнению потенциальная энергия «маятника» — двухступенчатая, периодическая, кусочно-постоянная функция времени. Уравнение зависит от двух параметров, характеризующих среднее значение по времени параметрического возмущения и глубину его «пульсации». Величины этих параметров произвольны. Существует два положения равновесия, отвечающих висящему и опрокинутому «маятнику». Рассматривается задача об их устойчивости. В первом приближении она приводит к необходимости анализа известного линейного уравнения Мейсснера. Проведено подробное исследование этого уравнения, дополняющее и уточняющее уже известные результаты, и решена нелинейная задача об устойчивости равновесий.
Ключевые слова: параметрические колебания, устойчивость, резонанс, отображение .
A.P. Markeev. On nonlinear Meissner’s equation . Rus. J. Nonlin. Dyn., 2011, V.7, №3, p. 531-547
Abstract
A nonlinear equation of motion for a 0pendulum-type system is investigated. It differs from the classical equation of a mathematical pendulum in the presence of a parametric disturbance. The potential energy of the «pendulum» is a two-stage periodic step function of time. The equation depends on two parameters that characterize the time-averaged value of a parametric disturbance and the depth of its «ripple». These parameters can take on arbitrary values. There exist two equilibrium configurations corresponding to the hanging and inverse «pendulum». The problem of stability of these equilibria is considered. In the first approximation it necessitates an analysis of the well-known linear Meissner equation. A detailed investigation of this equation is carried out supplementing and specifying the known results. The nonlinear problem of stability of equilibria is solved.
Keywords: parametric oscillations, stability, resonance, mapping .
|
