| А.В. Болсинов, А.В. Борисов, И.С. Мамаев. Качение без верчения шара по плоскости: отсутствие инвариантной меры в системе с полным набором интегралов . Нелинейная динамика, 2012, т.8, №3, с. 605-616 | ||||||
- Болсинов Алексей
Викторович - Борисов Алексей
Владимирович - Мамаев Иван
Сергеевич
Аннотация
В работе исследуется модельная задача о качении без проскальзывания неоднородного шара со смещенным центром по плоскости. Показано, что в данном случае приведенная шестимерная система обладает четырьмя первыми интегралами и ее фазовое пространство расслаивается на двумерны инвариантные торы, причем это слоение эквивалентно лиувиллеву слоению в случае Эйлера в динамике твердого тела. Тем не менее интегрируемость в квадратурах невозможна, так как система не допускает инвариантной меры, что доказано с помощью явного нахождения предельных циклов.
Ключевые слова: неголономная связь, лиувиллево слоение, инвариантный тор, инвариантная мера, интегрируемость .
A.V. Bolsinov, A.V. Borisov, I.S. Mamaev. Rolling without spinning of a ball on a plane: absence of an invariant measure in a system with a complete set of first integrals. Rus. J. Nonlin. Dyn., 2012, V.8, №3, p. 605-616
Abstract
In the paper we consider a system of a ball that rolls without slipping on a plane. The ball is assumed to be inhomogeneous and its center of mass does not necessarily coincide with its geometric center. We have proved that the governing equations can be recast into a system of six ODEs that admits four integrals of motion. Thus, the phase space of the system is foliated by invariant 2-tori; moreover, this foliation is equivalent to the Liouville foliation encountered in the case of Euler of the rigid body dynamics. However, the system cannot be solved in terms of quadratures because there is no invariant measure which we proved by finding limit cycles.
Keywords: non-holonomic constraint, Liouville foliation, invariant torus, invariant measure, integrability.
|
