| В.В. Козлов. Замечания об интегрируемых системах . Нелинейная динамика, 2013, т.9, №3, с. 459-478 | ||||||
- Козлов Валерий
Васильевич
Аннотация
Обсуждается задача об условиях интегрируемости систем дифференциальных уравнений. Обобщаются классические результаты Дарбу об интегрируемости линейных неавтономных систем с неполным набором частных решений. Особое внимание уделяется линейным гамильтоновым системам. Обсуждается общая задача об интегрируемости автономных систем дифференциальных уравнений в n-мерном фазовом пространстве, допускающих алгебру полей симметрий размерности ≥n. С помощью одного приема Лиувилля эта задача сводится к исследованию условий интегрируемости гамильтоновых систем с линейными по импульсам гамильтонианами в фазовом пространстве вдвое большей размерности. В заключение доказывается интегрируемость автономной системы в трехмерном пространстве с двумя независимыми нетривиальными полями симметрий. Следует подчеркнуть, что при этом никаких дополнительных условий на эти поля не накладывается.
Ключевые слова: интегрируемость в квадратурах, сопряженная система, уравнения Гамильтона, теорема Эйлера –Якоби, теорема Ли, симметрии .
V.V. Kozlov. Notes on integrable systems. Rus. J. Nonlin. Dyn., 2013, V.9, №3, p. 459-478
Abstract
The problem of integrability conditions for systems of differential equations is discussed. Darboux’s classical results on the integrability of linear non-autonomous systems with an incomplete set of particular solutions are generalized. Special attention is paid to linear Hamiltonian systems. The paper discusses the general problem of integrability of the systems of autonomous differential equations in an n-dimensional space which permit the algebra of symmetry fields of dimension ≥n. Using a method due to Liouville, this problem is reduced to investigating the integrability conditions for Hamiltonian systems with Hamiltonians linear in the momentums in phase space of dimension that is twice as large. In conclusion, the integrability of an autonomous system in three-dimensional space with two independent non-trivial symmetry fields is proved. It should be emphasized that no additional conditions are imposed on these fields.
Keywords: integrability by quadratures, adjoint system, Hamilton equations, Euler–Jacobi theorem, Lie theorem, symmetries .
|
