Проблема дрейфа и возвращаемости при качении шара Чаплыгина

Аннотация

В работе исследуется движение точки контакта (абсолютная динамика) в интегрируемой задаче о качении шара Чаплыгина по плоскости. Хотя скорость точки контакта является заданной вектор-функцией от переменных редуцированной системы, применить стандартные методы теории интегрируемых гамильтоновых систем невозможно, вследствие отсутствия подходящего конфромно-гамильтонова представления для нередуцированной системы. Для полного анализа мы применяем как стандартный аналитический подход, восходящий к Болю и Вейлю, так и развиваем топологические методы исследования. С помощью этого, в частности, получены условия ограниченности и неограниченности траекторий точки контакта.

Ключевые слова: неголономная связь, абсолютная динамика, бифуркационная диаграмма, бифуркационный комплекс, дрейф, резонанс, инвариантный тор.

Полнотекстовая версия

A.V. Borisov, A.A. Kilin, I.S. Mamaev. The problem of drift and recurrence for the rolling Chaplygin ball. Rus. J. Nonlin. Dyn., 2013, V.9, №4, p. 721-754

Abstract

We investigate the motion of the point of contact (absolute dynamics) in the integrable problem of the Chaplygin ball rolling on a plane. Although the velocity of the point of contact is a given vector function of variables of a reduced system, it is impossible to apply standard methods of the theory of integrable Hamiltonian systems due to the absence of an appropriate conformally Hamiltonian representation for an unreduced system. For a complete analysis we apply the standard analytical approach, due to Bohl and Weyl, and develop topological methods of investigation. In this way we obtain conditions for boundedness and unboundedness of the trajectories of the contact point.

Keywords: nonholonomic constraint, absolute dynamics, bifurcation diagram, bifurcation complex, drift, resonance, invariant torus.