| Б.С. Бардин. Об орбитальной устойчивости маятникообразных движений твердого тела в случае Бобылева–Стеклова. Нелинейная динамика, 2009, т.5, №4, с. 535-550 | ||||||
- Бардин Борис
Сабирович
Аннотация
Рассматривается задача об орбитальной устойчивости периодических движений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой. Геометрия масс тела отвечает случаю Бобылева–Стеклова. Невозмущенное периодическое движение представляет собой плоские маятниковые колебания или вращения тела, при которых одна из его главных осей инерции сохраняет неизменное горизонтальное положение. Задача об устойчивости решается в нелинейной постановке.
В случае колебаний с малыми амплитудами и в случае вращений с большими угловыми скоростями удается ввести малый параметр и исследовать орбитальную устойчивость аналитически. При произвольных значениях параметров нелинейная задача об орбитальной устойчивости сведена к анализу устойчивости неподвижной точки симплектического отображения, генерируемого системой уравнений возмущенного движения. Коэффициенты симплектического отображения получены численно. На основе их анализа сделаны строгие выводы об орбитальной устойчивости или неустойчивости невозмущенного движения. Результаты проведенного исследования представлены в виде диаграмм устойчивости в плоскости параметров задачи.
Ключевые слова: гамильтонова система, периодические движения, нормальная форма, резонанс, переменные действие-угол, КАМ-теория.
B.S. Bardin. On orbital stability of pendulum like motions of a rigid body in the Bobylev-Steklov case. Rus. J. Nonlin. Dyn., 2009, V.5, №4, p. 535-550
Abstract
We deal with the problem of orbital stability of pendulum like periodic motions of a heavy rigid body with a fixed point. We suppose that the geometry of the mass of the body corresponds to the Bobylev–Steklov case. Unperturbed motion represents oscillations or rotations of the body around a principal axis, occupying a fixed horizontal position. The problem of the orbital stability is considered on the base of a nonlinear analysis.
In the case of oscillations with small amplitudes as well as in the case of rotations with high angular velocities we studied the problem analytically. In general case we reduce the problem to the stability study of fixed point of the symplectic map generated by equations of perturbed motion. We calculate coefficients of the symplectic map numerically. By analyzing of the coefficients mentioned we establish orbital stability or instability of the unperturbed motion. The results of the study are represented in the form of stability diagram.
Keywords: Hamiltonian system, periodic orbits, normal form, resonance, action-angel variables, KAM theory.
|
