Фигуры равновесия неоднородной самогравитирующей жидкости

Аннотация

Работа посвящена исследованию фигур равновесия самогравитирующей идеальной жидкости со стратификацией плотности и стационарным полем скоростей. При этом, как и в классической постановке, предполагается, что фигура или ее слои равномерно вращаются вокруг неподвижной оси, фиксированной в пространстве. При отсутствии вращения фигурой равновесия, как известно, является только шар.
Показано, что эллипсоид вращения (сфероид) с конфокальной стратификацией, в которой каждый слой вращается с собственной постоянной угловой скоростью, будет находиться в равновесии. Получены выражения для гравитационного потенциала, изменения угловой скорости и давления, из которых сделан вывод, что угловая скорость на внешней поверхности совпадает со значением угловой скорости сфероида Маклорена. Отметим, что найденное решение обобщает ранее известное для кусочно-постоянного распределения плотности. Для сравнения приведено также решение для гомотетической стратификации плотности, полученное ранее Чаплыгиным.
В заключение рассмотрен однородный сфероид в пространстве постоянной положительной кривизны. Показано, что в этом случае сфероид не может вращаться как твердое тело, так как распределение угловой скорости частиц жидкости зависит от расстояния до оси симметрии.

Ключевые слова: самогравитирующая жидкость, конфокальная стратификация, гомотетическая стратификация, пространство постоянной кривизны .

Полнотекстовая версия

I.A. Bizyaev, A.V. Borisov, I.S. Mamaev. Figures of equilibrium of an inhomogeneous self-gravitating fluid. Rus. J. Nonlin. Dyn., 2014, V.10, №1, p. 73-100

Abstract

This paper is concerned with the figures of equilibrium of a self-gravitating ideal fluid with density stratification and a steady-state velocity field. As in the classical setting, it is assumed that the figure or its layers uniformly rotate about an axis fixed in space. As is well known, when there is no rotation, only a ball can be a figure of equilibrium.
It is shown that the ellipsoid of revolution (spheroid) with confocal stratification, in which each layer rotates with inherent constant angular velocity, is at equilibrium. Expressions are obtained for the gravitational potential, change in the angular velocity and pressure, and the conclusion is drawn that the angular velocity on the outer surface is the same as that of the Maclaurin spheroid. We note that the solution found generalizes a previously known solution for piecewise constant density distribution. For comparison, we also present a solution, due to Chaplygin, for a homothetic density stratification.
We conclude by considering a homogeneous spheroid in the space of constant positive curvature. We show that in this case the spheroid cannot rotate as a rigid body, since the angular velocity distribution of fluid particles depends on the distance to the symmetry axis.

Keywords: self-gravitating fluid, confocal stratification, homothetic stratification, space of constant curvature.